Aslen Siirtli olan Sarı, birçok futbolcu gibi mahalle takımlarında futbola merak salmıştır. Bir röportajı esnasında "Kola kutularıyla bile futbol oynardım. Tophane'nin küçük sahasında arkadaşlarla oynarken, Beyoğlu Yeniçarşı'nın antrenörü Rahmi Hoca beni görmüş, beğenmiş. "Kulübe gel" dedi. Şeklindeki ifadeleriyle futbol kariyerine attığı adımlarından bahsetmiştir.
Bu teklifi aldığında henüz 11 yaşında olan Veysel Sarı, futbol kariyerine Beyoğlu Yeniçarşıspor'un altyapı takımında başlamıştır.
Amatör küme arasında gerçekleşen milli takım dışında hiç milli takımda oynamamış, 2011 yılında Danimarka ve Lübnan ile oynanan özel maçlarda ilk defa Türkiye A Milli Takımı aday kadrosuna davet almıştır.
Veysel Sarı ayrıca Galatasaray, Beylerbeyi, Eskişehirspor ve Antalyaspor gibi takımlarda da forma giymiştir.
